首先,大家一起来试想一个场景:每个人手里都拿着一个苹果,假如我们在这个苹果表面围绕一个可以伸缩的橡皮带,要求既不扯断它,也不能让它离开苹果的表面,最终我们发现这个橡皮带可以慢慢移动收缩成一个点。

你能想象到这个场景吗?

如果大家觉得很难理解,非常抽象的话,我们再换一个场景试试。

把我们居住的房间想象成一个球形体,一个球形的房间。同时,要求这个球形房子没有窗户、没有门,有足够的多空气供大家呼吸。现在每个人手里都拿着一个气球,来到这个球形的房间里,我们把这个气球吹大(假设气球非常结实,气球的“皮”是无限薄,且不能被吹破)。

假如我们一直吹这个气球,吹到最后会怎么样呢?一位法国数学家庞加莱猜想,气球吹到最后,一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙。

这样理解起来是不是相对容易很多?

换句话说,我们把一个等同球形房间大小的气球,可以慢慢收缩成一个“点”,这就是数学史上非常著名的庞加莱猜想。

了解什么是庞加莱猜想,我们先简单了解一下什么是拓扑学。

拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。

拓扑学只考虑物体间的位置关系,而不考虑它们的形状和大小。

在拓扑学里,最重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。

因此,无论是围绕苹果表面橡皮带,还是可以“填充”整个球形房间的气球,在这个伸缩过程中,保证了连通性与紧致性。

居于这些假设,在1904年,法国数学家亨利•庞加莱提出了一个看似简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。

在1905年,庞加莱发现其中的错误,从而修改为:“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”

任何一个单连通的,闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

更直观地讲:

一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间;

单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点,或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球 。

后来,这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”。

庞加莱

谁是庞加莱?

庞加莱全名是亨利•庞加莱(1854年~1912年),他是一名法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。

庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。

庞加莱在数学方面的杰出成就对20世纪和当今数学的发展具有极其深远的影响,他在天体力学方面的研究被誉为是牛顿之后的一座里程碑,他因为对电子理论的研究被公认为相对论的理论先驱。

因此,庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家。

跟哥德巴赫猜想一样,庞加莱猜想的出现也让无数的数学家陷入疯狂,为了能证明这个猜想,很多数学家绞尽脑汁,倾其一生,前后长达一个多世纪才完成此猜想的证明,更是让三位数学家陆续获得了菲尔茨奖。

其实,庞加莱本人提出这个猜想之后,一度认为自己能够证明它,经过无数次努力,发现有生之年无法证明这个猜想。之后,一些数学家,特别是拓扑学家们开始了证明这个猜想的征途。

庞加莱

在庞加莱猜想提出到19世纪60年代之间,很多数学家进行大量的证明工作,虽取得一些成就(如发展出低维拓扑学这门学科),但离完全证明猜想还很遥远,这也让庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。

美国数学家斯梅尔在60年代初想到了一个“舍近求远”办法:如果三维的庞加莱猜想难以解决,那就先证明高维的加莱猜想。

在1961年的夏天,在基辅的非线性振动会议上,斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间以及五维以上的证明,一下子就引起数学界的轰动。

因此,斯梅尔获得1966年菲尔茨奖。

在1983年,美国数学家福里德曼又将证明向前推动了一步,他证出了四维空间中的庞加莱猜想,并因此获得菲尔茨奖。

虽然数学家都证明高维的庞加莱猜想,但总是无法踏入三维的庞加莱猜想。

如数学家瑟斯顿应用其他的工具,引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,并因此获得了1983年的菲尔茨奖。

菲尔茨奖

至此,虽然还没有证明三维的庞加莱猜想,但人们已经看到了希望。为了鼓励数学界能更快证明这一猜想,美国克雷数学研究所在2000年5月24日,把庞加莱猜想列为七个“千禧年大奖难题”之一,只要能解答成功,就能拿走百万美元大奖。

俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼在前人的基础之上,花费8年的时间去研究和证明三维的庞加莱猜想。在2002年11月和2003年7月之间,佩雷尔曼将3份关键论文的手稿粘贴到一个专门刊登数学和物理预印本论文的网站上,并用电邮通知了几位数学家,声称自己证明了庞加莱猜想。

2006年,数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

虽然佩雷尔曼证明庞加莱猜想,但他一生淡泊名利,拒绝很多奖项,如直接菲尔茨奖。因此,从某种角度来说,庞加莱猜想让四名数学家获得了有“数学诺贝尔奖”之称的菲尔茨奖。

佩雷尔曼

从庞加莱提出猜想,到佩雷尔曼完成证明,前后经历长达一个世纪的时间,中间有许多数学家为了能证明这个定理,耗尽一生的精力。

有人会问,花那么多时间和精力去证明一个猜想有什么意义呢?数学符号或数字看起来或许没有什么意义,但它是推动人类发展的工具,更是灵魂。人类在这个证明过程中,不要说对数学发展的意义,更是让人类的思维方式、思维的广度和深度、逻辑能力、哲学等等,都得到前所未有的发展。

同时这也体现数学的严谨性,数学的公式或定理不是靠猜测,需要有严谨的逻辑证明推理过程,这也让数学成为一个解决本学科或其他学科问题的重要工具。

就像庞加莱猜想作为拓扑学中一个具有基本意义的命题,将有助于人类更好地研究三维空间,加深人们对流形性质的认识,更好的去探索未知世界。